La velocidad en una tirolina

El cálculo de la velocidad que un cuerpo puede alcanzar al lanzarlo por una tirolina, ha sido otra de las actividades que formaban parte del proyecto "Mates en el parque".

En un principio, cuando apareció en clase este problema, propuesto por los mismos alumnos, éstos reducían la solución a la división entre el espacio recorrido y el tiempo invertido, es decir, a un movimiento rectilíneo uniforme, debido, seguramente, a los primitivos conocimientos de Física que habían adquirido hasta el momento.

Era el momento de hacer la pregunta "¿Pensáis que la velocidad es siempre la misma durante todo el recorrido?", a la que respondieron que "evidentemente que no", sin relacionar ésta con la hipótesis inicial de que el movimiento no tenía aceleración.

El siguiente paso fue decidir cómo medir esas variaciones de velocidad. Una de las propuestas fue la de poner marcas en el suelo durante el trayecto y, mediante un cronómetro, medir el tiempo entre marca y marca. Esta fue la estrategia que siguió algún grupo para realizar la actividad.

Un grupo mejoró esa idea proponiendo grabar en vídeo la acción, aunque mantenía las marcas del anterior. Yo añadí una variación más, utilizar un programa informático de vídeo para añadir tantas marcas como se quisiera, haciendo las mediciones directamente en la pantalla del ordenador. Esta estrategia la siguieron un par de grupos.

Sin que los alumnos lo supieran, y porque son conceptos más abstractos que verán más adelante, estaban haciendo una aproximación al cálculo de la derivada de una función en un punto.

En estos dos grupos más avanzados, una vez calculados los datos y pasadas las unidades al sistema internacional (para lo que tendrían que establecer el número de fotogramas por segundo de su grabación y calcular la escala de la imagen), realizaron una gráfica para intentar averiguar el tipo de movimiento:

Los alumnos, acostumbrados ya al uso de rectas de regresión, calcularon mediante una hoja de cálculo el modelo matemático que se ve en la imagen de la derecha. Como el coeficiente de determinación R² era muy cercano a 1, concluyeron que la función que mejor se aproximaba a los datos era lineal.

Aunque les costó entender cómo explicar este resultado, con mi ayuda finalmente llegaron a la conclusión de que, en contra de lo que supusimos, la velocidad era prácticamente constante, e igual a la pendiente de la recta, aunque apreciaron que parecía crecer más rápido hasta la mitad del recorrido, como cabía esperar.

Reflexionando, dijeron que en una tirolina de mayor longitud (la nuestra era de un parque infantil), los cambios de velocidad serían mayores. Les animé a construir una a escala para comprobarlo, pero lo descartaron. Lo probaré el próximo curso, colaborando con el profesor de Tecnología, Juanjo, que también nos acompañó a la salida.

En definitiva, una actividad que contiene muchos conceptos matemáticos, desde los más elementales, como escalas, cambios de unidades, gráficas a partir de tablas de valores, hasta algunos que se tratan en bachillerato, como los límites o las derivadas, desde aspectos gráficos simples como lo es una recta, hasta los puntos de inflexión, en los que ocurren cambios significativos en el crecimiento, pasando por los lugares geométricos como la elipse, curva que describe el cuerpo que se desplaza por la tirolina. Y también permite el estudio de ciertas funciones que, pese a ser habituales en nuestro entorno, no suelen aparecer en los currículos. Sería el caso de la catenaria.