Proyecto Agua (1a parte)

En este proyecto trabajaremos algunos conceptos básicos de geometría, como escalas y perímetros, áreas y volúmenes de figuras elementales. También repasaremos algunos aspectos de las funciones, como determinadas características gráficas que nos introducirán en los problemas de optimización, buscando la ecuación de una función con algunas de sus variables relacionadas entre sí. Finalmente, estudiaremos las funciones a trozos, tanto desde el punto de vista algebraico como del geométrico.

En las próximas entradas detallaremos cada una de las tres tareas encomendadas a los alumnos/as, comentando las diferentes actividades, las dificultades encontradas, las conclusiones alcanzadas y los resultados de las diferentes evaluaciones del proyecto.

La velocidad en una tirolina

El cálculo de la velocidad que un cuerpo puede alcanzar al lanzarlo por una tirolina, ha sido otra de las actividades que formaban parte del proyecto "Mates en el parque".

En un principio, cuando apareció en clase este problema, propuesto por los mismos alumnos, éstos reducían la solución a la división entre el espacio recorrido y el tiempo invertido, es decir, a un movimiento rectilíneo uniforme, debido, seguramente, a los primitivos conocimientos de Física que habían adquirido hasta el momento.

Era el momento de hacer la pregunta "¿Pensáis que la velocidad es siempre la misma durante todo el recorrido?", a la que respondieron que "evidentemente que no", sin relacionar ésta con la hipótesis inicial de que el movimiento no tenía aceleración.

El siguiente paso fue decidir cómo medir esas variaciones de velocidad. Una de las propuestas fue la de poner marcas en el suelo durante el trayecto y, mediante un cronómetro, medir el tiempo entre marca y marca. Esta fue la estrategia que siguió algún grupo para realizar la actividad.

Un grupo mejoró esa idea proponiendo grabar en vídeo la acción, aunque mantenía las marcas del anterior. Yo añadí una variación más, utilizar un programa informático de vídeo para añadir tantas marcas como se quisiera, haciendo las mediciones directamente en la pantalla del ordenador. Esta estrategia la siguieron un par de grupos.

Sin que los alumnos lo supieran, y porque son conceptos más abstractos que verán más adelante, estaban haciendo una aproximación al cálculo de la derivada de una función en un punto.

En estos dos grupos más avanzados, una vez calculados los datos y pasadas las unidades al sistema internacional (para lo que tendrían que establecer el número de fotogramas por segundo de su grabación y calcular la escala de la imagen), realizaron una gráfica para intentar averiguar el tipo de movimiento:

Los alumnos, acostumbrados ya al uso de rectas de regresión, calcularon mediante una hoja de cálculo el modelo matemático que se ve en la imagen de la derecha. Como el coeficiente de determinación R² era muy cercano a 1, concluyeron que la función que mejor se aproximaba a los datos era lineal.

Aunque les costó entender cómo explicar este resultado, con mi ayuda finalmente llegaron a la conclusión de que, en contra de lo que supusimos, la velocidad era prácticamente constante, e igual a la pendiente de la recta, aunque apreciaron que parecía crecer más rápido hasta la mitad del recorrido, como cabía esperar.

Reflexionando, dijeron que en una tirolina de mayor longitud (la nuestra era de un parque infantil), los cambios de velocidad serían mayores. Les animé a construir una a escala para comprobarlo, pero lo descartaron. Lo probaré el próximo curso, colaborando con el profesor de Tecnología, Juanjo, que también nos acompañó a la salida.

En definitiva, una actividad que contiene muchos conceptos matemáticos, desde los más elementales, como escalas, cambios de unidades, gráficas a partir de tablas de valores, hasta algunos que se tratan en bachillerato, como los límites o las derivadas, desde aspectos gráficos simples como lo es una recta, hasta los puntos de inflexión, en los que ocurren cambios significativos en el crecimiento, pasando por los lugares geométricos como la elipse, curva que describe el cuerpo que se desplaza por la tirolina. Y también permite el estudio de ciertas funciones que, pese a ser habituales en nuestro entorno, no suelen aparecer en los currículos. Sería el caso de la catenaria.

Medir la inclinación de los rayos solares

Una de las actividades trabajadas en el proyecto "Matemáticas en el parque" fue la de medir la inclinación de los rayos solares en diferentes momentos del día, por lo que la tarea se trasladó fuera del horario escolar, en el caso de algunos alumnos.

Pese a tratarse de una tarea sencilla, ya que bastaba con medir la sombra de un palo perpendicular al suelo. Sin embargo, algunos alumnos quisieron ir más allá y utilizar otros contenidos estudiados diferentes de la trigonometría:

Algunos grupos ampliaron las medidas que realizaron en el parque y realizaron una gráfica con los resultados. Aunque la gráfica parece una parábola, podría haber sido un buen ejemplo para introducir las funciones periódicas, incluso intentar modelizarla con las funciones trigonométricas, cosa que no se llevó a cabo por razones de tiempo.

Las matemáticas en el parque (fotos)

A petición de los alumnos, publico algunas fotografías de las actividades que realizamos en el parque.

Aquí vemos a dos alumnos preparando el goniómetro casero, compuesto de un transportador de ángulos, un cordel y un peso:

En esta otra, un grupo de alumnas acaba de decidir por dónde comenzarán a trabajar y qué hará cada una de ellas:

¡Manos a la obra! Empezando con las actividades iniciales. ¡Suerte que nos hizo un buen día! ¿Cómo hubieran medido la altura en caso contrario?

La actividad reina: la tirolina. Antes de empezar la recogida de datos, convenía probar su funcionamiento ;-)

Ahora que ya conocían cómo funciona la atracción, algunos alumnos empezaban a marcar el terreno, y no es una forma de hablar:

Había que adaptarse al terreno y si había que medir la inclinación del suelo, pues al suelo:

Evidentemente, también surgieron dudas y para eso estábamos allí Juanjo y yo.

En clase contínuamos trabajando con los datos:

Y en el aula de informática procesando imágenes, vídeos y ayudándonos de software matemático para realizar gráficas y los cálculos más complejos:

Las matemáticas en el parque (2ª parte)

Una vez hemos vuelto de las vacaciones de Semana Santa, el diseño definitivo de los dosieres fue el paso previo al trabajo de campo. Las propuestos de cada grup se expusieron públicamente en un fórum de Moodle, de manera que todos los alumnos pudieron mejorar aquellas actividades que, tal vez, no tenían bien orientadas a los objetivos que nos habíamos planteado.
Así que los dosieres estuvieron acabados y revisados, realizamos la salida al parque que tenemos más cerca de la escuela: el Parque Cervantes.

Aunque en un principio los alumnos mostraron cierto desconcierto, enseguida se pusieron manos a la obra y, una vez empezada la primera tarea, todo fue más rodado. Aprendieron que no es lo mismo la teoría que la práctica.
En esta entrada os comentaré por encima las diferentes actividades que llevaron a cabo los alumnos en el parque. Más adelante haré monográficos sobre algunas de ellas, con suficiente interés matemático como para ser tratadas aparte.

La tirolina y la velocidad

Cuando surgió esta propuesta, la primera idea fue la de medir la velocidad con la fórmula v=e/t, es decir, calcular la velocidad media midiendo el espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Aquí intervine con la intención de hacerles reflexionar sobre el método elegido. La primera pregunta era cómo medir el espacio recorrido, al tratarse de una línea curva. La segunda era si pensaban que la velocidad era siempre la misma o que, por el contrario, podía aumentar o disminuir a lo largo del trayecto.
Las respuestas eran evidentes, en parte porque las preguntas las había formulado yo, y los alumnos saben que cuando haces preguntas de este tipo es que algo diferente a lo propuesto está ocurriendo. Lo más interesante no era qué respondían, sino cómo solucionarían el nuevo problema que surgía de estas preguntas.
No tardó en aparecer el móvil. Grabando la acción se podría medir mejor el espacio y el tiempo, mediante un ordenador y un programa visor de películas. Hablaremos de este proceso en la próxima entrada.

Comparación entre el diámetro de los árboles y su longitud

Buen ejercicio para tratar dos temas que empiezan a ser recurrentes en muchos proyectos: la trigonometría y la estadística. El cálculo de alturas y distancias inaccesibles permite, por un lado, haber de pensar en qué elementos son necesarios para llevar a cabo la tarea y, por otro, observar las dificultades que surgen para realizar las medidas de éstos: suelos inclinados, árboles no perpendiculares, precisión de los aparatos de medida, ...
Para obtener las medidas deseadas, los alumnos tuvieron que diseñar algunos artilugios que, previamente, habían encontrado en diversas páginas web. Así, por ejemplo, para medir la inclinación del terreno utilizaron una botella con agua. Para medir ángulos utilizaron un goniómetro bastante casero, pero muy efectivo. Otros, más sofisticados, hicieron servir aplicaciones de smartphone.
¿Habrá relación? Dejaremos los datos para más adelante.

Inclinación de los rayos solares

Aunque durante nuestra estancia en el parque, algo más de dos horas, no era suficiente tiempo como para hacer un estudio detallado sobre esta variable, un grupo de alumnos quiso ir más allá y tomó algunos datos durante el siguiente fin de semana, durante un día, desde, aproximadamente, las 9 de la mañana hasta las 8 de la noche. La gráfica que obtuvieron se parecía bastante a una parábola, pero si investigásemos un poco más seguro que aparecería otro tipo de función, de la que ya hemos hablado en otro proyecto. Será una propuesta de ampliación.

Cálculo de áreas

Aunque esta actividad es de un nivel inferior a las otras, el objetivo era coger soltura con la medida de ángulos desde una posición dada. Los alumnos utilizaron, para estas medidas, desde sus propios brazos, midiendo la apertura de estos, hasta hilo para trazar físicamente los triángulos y medir sus ángulos con un transportador.
Sin embargo, también aparecieron algunos problemas, como la medición del área de un segmento circular. Algún grupo, empeñado en utilizar la fórmula del área de la circunferencia, intento medir, sin éxito, el radio de ésta sobre el terreno, en lugar de utilizar trigonometría elemental. Seguramente esto se ha debido a que no entraba en el diseño inicial, por lo que no se tomaron las medidas necesarias para su cálculo. Fue un buen momento para reflexionar sobre las consecuencias de la improvisación en un trabajo de investigación.

Las matemáticas en el parque (1ª parte)

Siguiendo con la búsqueda de matemáticas en todos los lugares en los que solemos estar, con mayor o menor frecuencia, iniciamos este nuevo proyecto.

"Mates en el parque" nos permitirá ver con ojos matemáticos un lugar que, tanto para pequeños, como para adolescentes o algo más mayores, no era, hasta ahora, más que un lugar de ocio y descanso.

Naturalmente, no se trata de ir al parque y mirar, a ver que podemos encontrar relacionado con las matemáticas, sino más bien lo contrario. Nuestro primer paso ha sido realizar una tormenta de ideas en clase (cada grupo por separado), para luego, en la sala de informática y en casa, profundizar más en cada uno de los objetivos que nos hemos acabado marcando.

Mi idea inicial iba enfocada al cálculo de distancias y alturas innacesibles, es decir, a la trigonometría. Pero de los alumnos y alumnas siempre se puede esperar algo más. Un poco más acostumbrados a dejar volar la imaginación, las posibilidades van surgiendo a buen ritmo y, en muchos casos, por contagio. Estábamos haciendo unas matemáticas primitivas, pero, al fin y al cabo, matemáticas.

Además de la trigonometría, que surgió sin mi ayuda directa, tal vez por haberla trabajado en el proyecto anterior, "Mates en casa", sugirieron tratar temas de física, como la velocidad en un columpio o en una tirolina. Incluso surgieron algunas relacionadas con la biología, como estudiar la fauna. Todo se andará.

En la segunda sesión, en la sala de informática, llegó el momento de dar forma a todas estas ideas, intentando establecer un planteamiento matemático con el que poder resolver cada uno de los problemas. En grupos de 2 ó 3 debían buscar información para responder a las preguntas "¿cómo hacerlo?" y "¿con qué?", es decir, determinar qué materiales serán necesarios. Hablaré sobre éstos en el próximo artículo, pero adelanto que el móvil parece que será la estrella, sobretodo los smartphone, con la multitud de aplicaciones disponibles de manera gratuita y, por supuesto, la cámara de fotos o de vídeo.

El proceso continuará en casa, aprovechando todo lo que puedan las vacaciones de Semana Santa. A la vuelta, en un par de sesiones, revisando entre todos los trabajos de los diferentes grupos, decidiremos las actividades que realizaremos en el parque (tal vez no sean todas viables), estableceremos uno o varios protocolos sobre cómo llevarlas a cabo y especificaremos qué materiales tenemos a nuestra disposición y cuáles deberemos, en la medida de lo posible, acabar fabricando nosotros mismo. Así que, después de 4 sesiones, con todo preparado, nos iremos de excursión al parque (aún está por determinar cuál, según las actividades seleccionadas), para verlo con otros ojos.

Seguramente aprovecharemos también para hacer fotografias con las que presentarnos en el "Concurs de Fotografia Matemàtica", para el cual algunos alumnos y alumnas ya han mostrado su interés en participar.

No os perdáis las próximas entradas, dónde explicaremos con detalle los preparativos.


Saludos.

Las matemáticas en casa

"Mates a Casa" és el quinto proyecto del curso y el primero en aparecer en este blog. En este proyecto hemos echado una ojeada a aquello que nos rodea en casa.

El primer estudio que llevamos a cabo fue una idez, prácticamente unánime, de los alumnos. Queríamos saber cosas relacionados con el consum de alimentos y acabamos buscando una relación entre el tiempo dedicado al deporte y la cantidad de comida que ingerían los alumnos durante una semana.
 Con este estudio conocimos una parte muy importante de la estadística que permite, bajo determinadas condiciones, establecer relaciones entre diferentes variables. Se llama regresió lineal y esá relacionada con las funciones afines, que ya estudiamos en 3º. No encontramos ninguna relación:

El segundo estudio también era un cuestión que nos interesaba a muchas y a muchos. Era todo lo relacionado con los consumos de electricidad, agua y gas en nuestras casas. Pero el objetivo no era sólo saber hacer cálculos a partir de una factura, sino ir un poco más allá y encontrar un fórmula que calculase el importe de ésta a partir del consumo. Además de las funciones afines que obtuvimos de la factura de la electricidad y del gas, descubrimos un tipo más complejo, como son las funciones definidas a trozos, como en el caso del agua y, de paso, de la telefonía móvil, por el hecho de cobrarnos por tramos. También volvimos a poner en práctica la regresión lineal, intentando encontrar alguna relación entre el consumo de la electricidad y el agua. La conclusión fue que no había ninguna relación, al menos entre nuestros datos:

En el siguiente estudio, el tercero, realizamos un experimento. En primer lugar había que establecer cómo medir las variables que intervendrían. I es que queríamos saber cómo se enfría un horno que, previamente, se había calentado hasta su temperatura máxima. Aunque tuvimos diversas complicaciones, por la variedad de modelos de hornos, finalmente muchos pudimos realizarlo consiguiendo unos datos interesantes. Com ya éramos expertos en regresión, propuse la exponencial y, sorprendentemente, la relació fue ¡¡¡casi perfecta (en más de un 99%)!!! Así conocimos las funciones exponenciales y un nuevo número: e. Aprovechamos para investigar algo más sobre este número, su nombre, su valor, sus aplicaciones, ... Y la semana que viene aún iremos más allá, ya que les hablaré de los logaritmos, las funciones inversas de las exponenciales. Entonces, cerraremos otro círculo.

Acabaremos con el cuarto estudio, cambiado radicalmente de problema. Seguro que todo el mundo ha tenido alguna dificultad con la instalación de una estanteria, con paredes que forman un ángulo recto, con qué cabe o no en un altillo, etc. Estas preguntas nos llevarán de una manera natural a una de las figuras geométricas más simples: el triángulo. El estudio de los triángulos y de sus medidas se conoce como trigonometria. Ya conocemos cosas como el teorema de Pitágoras o el de Tales, que intentaremos ampliar hasta conocer las relaciones llamadas seno, coseno y tangente.

¡Todo un reto!

La enseñanza basada en proyectos

La dinámica habitual en las clases de Matemáticas la conocéis todos: tema 1, números reales; tema 2, ecuaciones; tema 3, sistemas; etc. Este método está lejos de representar realmente la evolución natural de las Matemáticas. Un rápido repaso a la historia de esta materia nos demostraría que los diferentes conceptos que solemos estudiar no han seguido este patrón, sino otro muy diferente.

Como ejemplo tenemos el conjunto de los números reales. Es cierto que fueron los números naturales (1,2,3,?) los que se empezaron a usar en un principio, pero no los siguieron los negativos, ni siquiera el cero, descubierto mucho más tarde. Fueron las fracciones las que ocuparon esta posición. De hecho los números irracionales, de la mano de las raíces cuadradas, pasaron por delante de los enteros negativos.

Y no hablemos ya de las ecuaciones, inecuaciones, funciones y demás contenidos que solemos estudiar.
La razón fundamental es que las Matemáticas, al comienzo, se utilizaban para resolver problemas relacionados con el mundo real. De hecho, eran los problemas los que daban lugar a los conceptos matemáticos. Es decir, no existía una materia llamada Matemáticas en sí misma, sino por el hecho de tener problemas que había que resolver.

Quizás fueron los griegos los primeros en hacer matemáticas por el gusto de hacer matemáticas, separándola de las aplicaciones del mundo cotidiano.

Así, que podemos decir que existen dos maneras de hacer matemáticas, igualmente válidas y útiles: la que usamos para resolver problemas más o menos cotidianos y, la otra, más abstracta, que se utiliza para resolver problemas puramente matemáticos, que todavía no tienen aplicación real, pero que quizás la tendrán más adelante.

Los trabajos por proyectos intentan imitar a la historia de las matemáticas, sin renunciar a la abstracción propia de esta materia.

La práctica docente, al menos la mía, demuestra que el estudio parcial de los diferentes contenidos, en forma de temas, no es capaz de hacer entender a la mayoría de alumnos la esencia de las matemáticas, ni de saber aplicarlos en situaciones problemáticas.